三角関数の加法定理&倍角公式、分かりやすい覚え方と導出法

はい、今回は三角関数の加法定理についてです!

前回は三角関数の基礎となる部分を確認しつつ、単位円を紹介しました。その続きってわけではないですが、三角関数の重要な公式である加法定理をやっていきたいとおもいます

さっそくですが、加法定理の導出はかなりめんどくさいのでカットします(-∀-)。

タイトル詐欺ですね~。ただ全部の加法定理を覚える必要はなく、sin(α+β)、cos(α+β)だけあれば他は簡単に導出できます。今回の記事ではその導出部分がメインです。

かつ、倍角の公式(sin2αとか)もそのまま計算すれば導出できるのでついでにやっちゃいます。

でもっというと、加法定理は和積公式の導出にすーごく便利なんです。というかそれが一番助かります。

ということでsin(α+β)、cos(α+β)の加法定理の(僕なりの)覚え方と、それをつかった他の加法定理の導出をみていきましょう(´∀`)

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加法定理の覚え方

まずは実際の式を確認します。

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ

とまあこんな感じ。

ま気合で覚えれば全然いいんですが、僕が使ってたゴロは

「咲いたよコスモス、コスモス咲いた」

「コスモスコスモス咲いた咲いた」

、、ふざけてんのかな?って思いますよね。

僕も思います。でもこれが意外と頭から離れない。なんなら離れないからブログで書くかってなったくらい(-∀-)

ゴロの意味はそのまま、ようはsinとcosの順番を間違えないためのゴロ合わせです。もしどっちがsin(α+β)だっけ?ってなったらα=0、β=0を代入してみてください。sin0=0、cos0=1なのですぐわかります。

あとは符号ですね。符号に関してもかなりめちゃめちゃですが

「sinは3文字(サイン)だから+(プラス)、cosは4文字(コサイン)だから-(マイナス)」

って覚えてました。ま、覚えりゃなんでもいいんです(´∀`)。

cosの公式ってだいたいひねくれてるんで符号が逆になることが多いって気もします。たぶん。

最終的に確認するときは、α=30°、β=60°をいれてみるのがいいですね。

sin30°=cos60°=1/√3

sin60°=cos30°=√3

ってのが分かってれば、α+β=90°になるんで計算して確かめればおっけです

加法定理の導出

さて、とりあえずsin(α+β)、cos(α+β)は覚えたとしましょう。

次は他の加法定理の導出です。ここは前回の単位円でも軽くふれた、sin(-α)、cos(-α)を使っていきましょう。

下の図からも分かるように

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

でした

ってことでsin(α-β)は

sin(α-β)=sin((α+(-β))

=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)

=sinαcosβ-cosαsinβ

で計算できます。

同じようにcos(α-β)も

cos(α-β)=cos((α+(-β))

=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)

=cosαcosβ+sinαsinβ

と結構あっさり導出できます。まあ見れば分かるように、符号を変えるだけなので覚えればいいんですけどね(´∀`)

続いてはtan(α+β)をみてみましょう。

tanの場合はtan=sin/cosを使えばさっきの加法定理を使える形になるんでとりあえず変形して

tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)

             =(sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ-sinαsinβ)

となります。

で、ここからtanに戻していきたいわけです。

tan=sin/cos

だったんで、sinをcosで割ればとりあえずtanという記号は出てきそう。

そこで分子と分母をcosαcosβで割ってみましょう

こうですね。で、cosを消していくと

こんな風に。sinα/cosα=tanαだったんで、それを代入すれば

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

はい、導出できました!

tanの加法定理はそこまで使う場面はないんですが、その分覚えるのがめんどくさいんで導出できるようになっとくと楽です。tan(α-β)も同じように導出できます。符号が逆になるだけなんでぜひやってみましょう

ただ僕は「1引くタンタン分のタン足すタン」で覚えてましたが(-∀-)

倍角の公式

はい、これでもう加法定理はよゆうですね。ってことで最後に加法定理を利用した倍角公式を確認しときましょう(´∀`)

倍角公式とは

sin2α=??

cos2α=??

tan2α=??

ってのを簡単にしましょうって公式ですね。これは割とよく使った覚えがあるので要チェックです。

っていっても加法定理に代入すればすぐ出てきます。超簡単なので計算してみてください。結果は

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos²α-sin²α

tan2α=2tanα/(1-tan²α)

となります。

ぜんぶ覚えようとすると大変ですけど、割り切って加法定理だけ覚えとけば別に問題なく導出できるんです。

むしろ覚えるよりも確実です。

さらにcos2αを“cos²+sin²=1“でちょっと変形してみると、

cos2α=cos²α-sin²α=1-2sin²α=2cos²α-1

ってなりますね。

ってことは

2sin²α=1-cos2α

2cos²α=1+cos2α

sin²α=(1-cos2α)/2

cos²α=(1+cos2α)/2

これが半角の公式ってやつですね。例えばα=π/8だったら、2α=π/4だから上の式に入ればsin²(π/8)が計算できたりすると。

まとめ

たぶんこの辺でもう疲れてくるので(僕が疲れてます)、今回はここまでにします(´∀`)。

今回言いたかったのは、加法定理のsin(α+β)、cos(α+β)さえ覚えればもう他の公式は導出できるってこと。

覚えれば早いですし、得意な人はそのほうがいいと思います。けどもし間違って覚えてたら悲惨ですよね。導出するのがめっちゃ大変ってわけでもないし。

次回は和積公式も加法定理でできちゃうよっていうことを書く予定です。和積の公式もじみに使う場面があるけど覚えるのはしんどい公式だと思います。でも加法定理さえ覚えとけば簡単に導出できるんでいちおう参考にしてみてほしです

ちなみに今回導出した倍角公式、これを使う有名な入試問題があります( ´ ▽ ` )ノ

それが、、、

『tan1°は有理数か』(京大2006後期)

伝説の入試問題、史上最短の問題とも言われておりファン(?)も多い問題です。

tanの倍角公式を使うことがポイントとなっているこの問題、ひまなひとはチャレンジしてみるとどうでしょう(-∀-)笑

伝説問題なだけあって解説サイト、動画は検索すればいくらでもでてきます。ヒントは今言ったtanの加法定理、そして「有理数か無理数か」といえば、、、あの証明方法を使いましょう!

個人的には問題文の少なさ、そして解答もひらめけばさらさらいけるあたりが京大らしくて大好きです。

はい、最後にちょっと遊びましたが次回は和積の公式を導出していきたいと思います!

いじょう、そらまめでした~

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