sinとcosの変換、秒で分かります。図で考える三角関数!

はい、今回は三角関数の基礎について書いていきます!

三角関数といえばsin,cos,tan。呪文のように唱えられてますよね、知らなかったときはどんな内容なのかわくわくしたものです(嘘です)

ぶっちゃけ暗記すればいい分野ではあるんですが、今回の記事では三角関数のイメージが少しだけ分かりやすくなる”単位円”の考え方を載せていきます。おそらく授業でも扱うものですが、そのおさらいor予習として軽く読んでくれたらいいかなって思います(´∀`)

では簡単に三角関数を見直しつつ、sinとcosの変換が視覚的に分かるようになる単位円をマスターしときましょう~

スポンサーリンク

三角関数とは

ここではさらっと定義だけ復習。

sin,cos,tanがそれぞれどんな数字を表してるのかっていうと、

  • sinθ=y/r
  • cosθ=x/r
  • tanθ=y/x

です。よくある覚え方としては、cosはcを書く順番、tanはtを書く順番で分母と分子になるなんて言われます↓

書き方を少しかえると、

  • x=r×cosθ
  • y=r×sinθ

となりますね。こっちのほうが使いやすいかも。

ただ注意点として、この定義は直角三角形のときってことは覚えておいてください。下の図形のときは上の式通りじゃないってことですね

→ sinθ≠y/r、y≠r×sinθ

???って混乱する人もいるかもしれませんが、ここでポイント。

あくまでsinやらcosは記号って考えてください。

じつは直角三角形の長さの比であるx/rとかy/rって色んなところで使えるんです。さらに、辺の長さ自体は三角形の大きさによって変わりますが、その比ってのは角度によってしか変わらないんですね。

だったら、この角度を使った記号で表しとけば楽じゃん!って誰かが言ったんでしょうね。で、三角比(三角関数)が広まったわけです。

なのでそんなに難しく考えず、ただ単に直角三角形の長さの比を表す記号なんだーって思ってください。そうすると、色々ある三角関数の性質も分かりやすくなります(´∀`)

三角関数の基本性質

続いてはこちらも基本的な分野のおさらい。親の顔ほどみた公式ですが、

  • sin²θ+cos²θ=1
  • tanθ=sinθ/cosθ
  • 1+tan²θ=1/cos²θ

はほんとよく使います。

でもさっきの定義から考えればすぐわかりますよね。直角三角形の場合、有名な三平方の定理から

r²=x²+y²

両辺をr²で割れば、

1=(x/r)²+(y/r)²

なので、1個目はこれを当てはめればおけ。2個目はそのまま定義式を代入して計算すれば出てくるんでおけ。ちなみに僕は「こすい奴(cos)は下(分母)」って覚えてました。意外とおすすめ。

3個目はまあどうやってもいいですが、1個目の式をcos²で割ってやるのが早いですね。

定義さえ掴んどけば、このへんの性質は覚えなくてもすぐ導けるんで大丈夫でしょう!

単位円について

さて今回のメイン、”単位円”にいきましょ~

単位円ってのは半径が1の円。原点を中心として書いてみるとこうですよね

これがどうつながるのか、円周上の座標(x,y)をみてみると

おおついさっきみたなこれ。そう、円の半径は1だから三角形を作るとr=1の直角三角形なので

x=cosθ

y=sinθ

って書けちゃう(* ゚Д゚)

つまり、単位円の円周上にある点はx座標がcos、y座標がsinってなっちゃうわけです。ちなみに僕は「よさいん(cos)」って覚えてました。これもおすすめ。

さらにもう1つ、tanは原点から(x,y)への直線の傾きを表すことになります。式で書くとy/x!

このイメージができれば

  • sin90°=1
  • cos180°=-1
  • cos90°=…

てのもすぐわかるし、どの角度までならsinは正の値で、cosは負の値で、tanは…ってのも分かりやすい。tanは点(x,y)への直線の傾きだから、傾きが正か負かを考えればいい。

もちろんこれだけじゃなくて、例えば

sin(90°+θ)

を単位円で書いてみると、

この点(x,y)が90度回転したところの、sinだからy座標を求めればいい!

直感でも分かるかもしれませんが、

図形の問題ですね。こうやって解くと、y座標は”x”、つまりsin(90°+θ)は”cosθ”と一緒になるんだってすぐ分かります。

しかもx座標をみれば、cos(90°+θ)の場合は”ーsinθ”と等しくなるのも分かりますね。暗記だとめんどくさい正負の関係も視覚的に分かるのがポイント。 

sin(180-θ)とかcos(180+θ)も同じようにやってみてください。試してみればsinθ、-cosθと一緒ってすぐわかります。

これがじみーに活きてくるんですよ(-∀-)

まあこれが単位円の考え方です。簡単です。でも覚えといてほしいです。

90°とか180°に関する公式が分かりやすくなるのもそうですが、理系の人、とくに物理の力学で”円”と”三角関数”を結びつけれると回転運動が楽に考えられます。

分かりやすいのがロボットとか機械の例。このゴールに行くために、これを掴むために何度回転するという動きが必要ですよね。回転による移動を使う場面が多くでてくるわけです。

このときに、単位円のイメージで座標の上で回転を考える、つまり三角関数によって回転移動を表すとスムーズに考えることができます。

他にも、三角関数は斜め方向の速度をx座標、y座標に分解するときにも使ったりします。本能的にやってますが、これも基本は「座標で考える」ために必要な方法なんですね。

まあ何が言いたいかっちゅーと、”三角関数”は座標とつなげて考えると分かりやすいよ!ってはなしです(´∀`)

定義から公式の暗記ももちろん重要ですが、それに加えて”単位円”という一番簡単な座標とのつながりを覚えとくと、今後も楽になるとおもいます(`・ω´・)ノ”

いじょう、そらまめでした~