積分の面積公式を分かりやすく解説。まず理解して覚えよう

今回紹介するのは積分で面積を求めるときに役立つ面積公式についてです!

二次試験だけでなく一次試験でもほぼ毎年出題されてるこの分野ですが、積分で一番多い悩みは「計算時間が足りない」ことだと思います…

そこで、主にグラフの面積を求めるときに使うことが多い公式1つと、数Ⅲをやってない人にもぜひ知っといてほしい公式を紹介します。

ただ単に紹介するのでなく、しっかりと理解してもらうことで色んなシチュエーションに対応できるようになっていくのでそこを目標に書いていきたいと思います!ぜひ参考にしてください(`・ω´・)ノ”

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6分の1面積公式

文字通り、積分で面積を求めるときに本当にこれだけは覚えといてほしいという公式がこちらになります↓

いわゆる「6分の1公式」と呼ばれるものですね。注意したいのは、積分範囲と積分する式が公式のような関係になっていないといけないことと、右辺には”‐”がつくことです。まあ面積を求める問題の解きは答えがマイナスになることは無いのでそこで気が付くと思います。

この公式の証明は積分を解いてみればすぐにできるので省略します。大切なのは、左辺の式のカタチが図で見るとどんな意味を持つのか、ということ。

まず式から考えてみましょう。(x‐α)(x‐β)=0という方程式があったとすると、この式の解はα,βになることは大丈夫ですよね。因数分解されたカタチなのですぐに分かると思います。

ではf(x)=(x-α)(x-β)というグラフを考えてみましょう。先ほど求めたように、このグラフがx軸と交わるのは(α,0),(β,0)の2点になるので、下のようになります。

そしてこの赤い部分の面積を求める場合、基本に忠実に式を立てると「y=0(x軸)」と「y=f(x)」に囲まれた部分なので

S=∫(0‐f(x))dx

で積分範囲はα→βとなります。つまり、先ほどの公式の左辺にマイナスをつけたカタチになることが分かります。そのため答えは公式からすぐに(β‐α)³/6とわかるわけですね。

ここで注目したい点は、このα→βという積分範囲は2つのグラフの交点から生まれたものであるという点です。y=0とy=f(x)という2つのグラフですね。

ではこの公式を1段階応用させてみましょう。

今度はy=f(x)とy=g(x)という2つのグラフを考えてみます。ここではどちらも二次関数としますね。で、2つのグラフが下のように交わるとしましょう。

この赤い部分の面積を求めよってのはよく見る問題じゃないですか?

まずは交点を求めないといけませんよね。式としては、f(x)‐g(x)=0という二次方程式を考えればいいはずです。この方程式の解が交点のx座標になりますね。

さて、今回はこの解をα、βとしてみましょう。このとき、f(x)‐g(x)=k(x‐α)(x‐β)と書けるって分かりますか?解がαとβとなってるので、因数分解した形で書けば右辺のようになるってことです。このkは、左辺におけるx²の係数を表しています。

となると、赤い部分の面積は積分範囲がα→βで

S=∫g(x)-f(x)dx=-k∫(x-α)(x-β)dx

になるので、これも公式を使えばあっさり解くことができます。注意として、面積を求める式なので積分の中身は「上にあるグラフ」から「下にあるグラフ」を引いた式になります。そのため、式としてはg(x)-f(x)となりますので間違えないようにしてください!

実際に式に数字がある方が分かりやすいので、少し例をみてみましょう。

f(x)=x²-2x

g(x)=‐x²+x+2

として考えてみると、このグラフの交点を求めるための二次方程式は

f(x)‐g(x)=2x²-3x-2=0

となります。これをたすき掛けで解いてみると、(2x+1)(x-2)=0となりx=‐1/2、2がでてきます。

ってことで因数分解した形、公式に合わせた形で書いてみると

f(x)-g(x)=2(x+1/2)(x-2)

がでてきますね!この例ではkにあたるのが2となってます。

ではこのグラフによって囲まれている部分の面積はどうなりますか?式としては

S=g(x)-f(x)dx、積分範囲は-1/2→2になりますよね。

で、もうわかると思いますが公式を使える形になるので使ってやると答えは2×1/6×(2-(-1/2))³を計算して125/24となります!

ちゃんと展開して積分してってやるより明らかに速く、計算ミスも減りますよね。そしてこの公式の鍵となるのは「交点」です!

曲線と直線にしろ、曲線と曲線にしろ2つの交点が出てくる場合、その面積を求める際に上の使える時が多いです。なぜなら、”交点=2つのグラフによる方程式の解”であり、それにより因数分解することができる、つまり公式のカタチにすることができるってことだから。

注意点としては、積分する中身の式の立て方。基本に忠実に、上のグラフから下のグラフを引くことを徹底すれば符号で迷うことはなくなります!そして忘れやすいのがx²の係数部分。上で説明したkのところです。これを忘れて間違えることがかなり多いので注意です!

二次関数までのグラフならこの公式を使えるので、「2つの交点」「囲まれた」的なワードが来たら反応できるようにしときましょう(`・ω´・)ノ”

f(x)=a(x-α)(x-β)のとき、α→βにおいて∫f(x)dx=-a(β-α)³/6

覚えときたい便利な3分の1積分公式

続いて紹介するのは、数Ⅲを勉強してる人ならしってるだろう次の公式。

Cは積分定数ですね。見たとおりシンプルな公式で、まあ右辺を微分すると積分の中の式になることは分かると思います。もちろん2乗だけでなく3乗や-2乗などにも応用できますが、面積を求める際に使うのが多いのは2乗の場合。何が素晴らしいかってやはり展開せずに計算できちゃうとこですよね!

そして、なぜこの公式が積分で面積を求めるときに大事なのか、それは”接線”がよく使われるからです!

積分の面積公式の使いどころ

さて、上の公式を使いやすいときというのは積分する式が(x-a)²の形になるときです。この式をf(x)とすると、ポイントになるのがf(x)=0の解が重解になってるってことですね!

例えば

g(x)=x²+3という二次関数のグラフと

h(x)=2x+2という直線

を考えてみましょう!

2つのグラフの交点を求めるためにg(x)-h(x)を計算すると…

x²-2x+1=0となり、因数分解して(x-1)²ってなりますね。これはグラフと直線の関係で言えば“1点で交わる”つまり接線だということになります。実際に図を書くと

こんな感じになります。x=1の点で接してることが分かりますね~。で、多いのがこの赤い部分の面積を求めよって問題。そう、接線も囲む材料になりやすいので問題にしやすいんです。ではこの問題を解くための式を立ててみると、g(x)-f(x)dxで積分範囲が0→1となります。

つまり、(x-1)²dxに変形できるわけで、先ほどの公式であっさり解けますね。計算も楽です。

このように、”接線”というワードが出た場合はこの公式を使えることが多く、その理由としては接線→直線と放物線の連立方程式が重解→(x-a)²の形にできるってことが挙げられます。この展開を覚えとくと計算がかなり楽になるのでオススメです!

ちなみにこれも6分の1公式と同様、連立方程式がk(x-a)²という形になったときはこのkを公式の中にいれて、積分の結果はk(x-a)³/3になるので注意です!

∫(x-a)²dx=(x-a)³/3+C

積分公式の応用、12分の1公式

さて、この”接線”をつかってよく出る問題を1つ、整理しときたいと思います。それはこんな感じの問題ですね~

この赤い部分を求めよってもの。放物線とその2つの接線に囲まれた部分です。

放物線はf(x)=ax²+bx²+cとしときましょう。

この計算をするさいに、上で紹介した3分の1公式を使えば楽にはなりますよね。ただ、この場合では2つの接線の性質からもっと楽に解くことができます!

実はこの接線の交点のx座標は、それぞれの接点のx座標の平均になるんですね。証明方法としては、放物線をy=ax²に平行移動して考えます。平行移動してでてきた交点の座標をもう1度平行移動したらOKなので、平行移動しても問題ありません。

するとy’=2axとなるので、それぞれの接点を(p,ap²)、(q,aq²)とおくと2つの接線の方程式はすぐ解けますね。そこから交点を計算すると、x座標はp+q/2となることが分かると思います!例えばこの放物線をx方向に4平行移動したとしても、交点のx座標は接点のx座標の平均となるのは変りませんよね( ´ ▽ ` )ノ

ということで、この性質をつかうと以下のように分けて考えて、

上の3分の1公式より、

S = a {(α+β)/2 – α}³ / 3 + a {β – (α+β)/2}³ / 3

   = a (β – α)³/24 + a (β – α)³/24

   = a (β – α)³/12

が出てきます!これが12分の1公式です!一度自分でも計算してみてくださいね( ´ ▽ ` )これによりほぼ一瞬で赤い部分の面積を出すことができます。

ちなみに、もう1つだけ便利な性質を紹介しますと、

こんな感じで、2つの接点を結ぶ直線を引いたとして、青い部分の面積を考えてみましょう。さて、これは「放物線と直線で囲まれた」面積ですよね。「2つの交点」があります。

ってことは…6分の1公式ですね!!

だから青い部分の面積Tは

T = a (β – α)³/6

になります。このことから、青い面積と赤い面積の比をがわかって、

T:S = 2:1

が成り立ちます(`・ω´・)ノ”図が雑なので信じがたいですが笑、これは放物線と接線に対して一般的に成り立つ関係なので、覚えておいて損はないです!

一次試験だけでなく二次試験でもこの関係を使えば楽に解ける問題も多いので、積極的に狙っていってください!

今回は積分公式、面積公式についておもに紹介してきました!中でもよく使うのは6分の1公式、3分の1公式ですね。知っているのと知らないのでは計算スピードや精度にかなり差が出てきますのでぜひ例題をどんどん解いて身に着けていってください!

学校の問題集でもいいので、演習量を積み重ねることが大事です。

あともう1つ、”公式”なんていってますが、12分の1公式に関しては記述式ではいきなり書くとよろしくないです!いちおう途中計算も書いておくのがベストですね。同じく面積比の関係もいきなり2:1と書くと危ないので、しっかり理解して導出からできるようになっときましょう!

検算にも役立ち、計算ミスが少なくなるとメリットが大きい積分公式、ぜひ理解して使っていってくださいヽ(^ω^)ノ

いじょう、そらめまめでした~