【数学】modってなによ？実は便利な合同式を解説！合同方程式も

 

さて今回は”合同式”をみていきます！記号ではmodがよく使われるテーマですね(´∀｀)あとa≡bというふうに「合同」をあらわす3本線もよくでてきます。

この合同式ですが、チャートなどの参考書では発展内容として扱われ、そのせいもあってか苦手意識をもつ人も多いです。

合同って図形やないんかい、とページを閉じちゃう人もいるかもしれません

 

しかし、合同式ってぜんぜん難しいこと言ってないんです。しかも割り算と余りの関係などが頻出の整数問題ではめちゃめちゃ使いやすい性質をもってます。

つまり、知っとかないと損です。まじで。

 

でも、分かりにくい部分があるのも事実。とくに合同方程式は混乱しがちです。

ってことで合同式の基本と、どんな問題で使えるのかってとこを具体的に見ていきましょ～( ´ ▽ ` )ﾉ

 

合同式の定義

 

ほとんどに当てはまりますが、定義だけ聞くと何言ってるかあんまし分かりません。合同式の定義は、

 

「a-bがmの倍数であるとき、a,bはｍを法として合同であるという」

 

で、式で表すと

”a≡b　(mod m)”　

となります。

ちなみにmodはmodulus(法)に由来してるそうです。

 

で、この定義だと全然なにいってるかわからないのでもっとシンプルに言い換えると

 

「aをmで割った余りとbをmで割った余りが同じだったら、ａとｂは合同！」

 

ってことです。

 

例えば

a=45,b=10,m=7

のとき、aを7で割った余りとbを7で割った余りはどちらも3ですね。つまりこのとき、

a≡b (mod 7)

が成り立ちます。実際にa-b=35で7の倍数なので定義にも当てはまってます。

 

とりあえずｍが7のときを考えてみましょう。

 

まず、どんな整数も7k+nで表せますよね。ｎが0～6の整数をとると考えて、ようはその整数を7で割った余りがｎってことになります。

じゃあａとｂをそれぞれ

a=7k+n, b=7l+m

としましょう。

すると、

 

a-b=7(k-l)+(n-m)

 

です。じゃあこれが7の倍数になるなら、n-mは０じゃないといけませんよね。nもmも0～6の整数なので7にはなれません。

だから、最初の定義は結局はn=mってこと、つまりａを7で割った余りとｂを7で割った余りが同じってことになります。

 

これが合同式です。”余り”について考えていくというのが特徴であり、かつ余りのもつ性質がつかいやすいので覚えてほしいテーマになります！

 

合同式の性質

 

ではどんな性質があるんでしょうか。重要なのは演算ができることです。

 

ａ≡ｂ(ｍｏｄ　ｍ)，　ｃ≡ｄ(ｍｏｄ　ｍ)

という条件のとき、以下が成り立ちます

1. a+c≡b+d
2. a-c≡b-d
3. ac≡bd
4. aⁿ≡bⁿ

これはすべてmod m のときなのでそこは注意してください！

 

証明は定義の時と同じように、それぞれを文字で表して計算していくとできます。めんどくさいのでやりません笑

ちなみにそのときは

ａ≡ｂ、ｃ≡ｄから、

ａ＝ｍｋ＋ｂ，ｃ＝ｍｋ＋ｄ

と書けるとはやいです。

a≡b ってことは aーb がｍの倍数だったから、aーb＝mk がなりたつってことですね。

 

ただ4番だけちょっと違うのでここでやっておきます。しかも4番がいちばん便利なので。

4番では二項定理を使うことになります。二項定理に関しては後ほど記事を書きますが、

ａ^ｎ＝（ｍｋ＋ｂ）^ｎ

　　＝ｂⁿ＋_nＣ₁・ｂ^n-1・ｍｋ＋…＋_nＣ_n-1・ｂ・(ｍｋ)^n-1＋(ｍｋ)ⁿ

 

となります。

左辺にbⁿを移項すると、右辺はｍの倍数になるのでaⁿ-bⁿがｍの倍数ってことになります。これは定義から、aⁿ≡bⁿになることがわかります( ´ ▽ ` )ﾉ

 

合同方程式とは

 

ではこの合同をつかった合同方程式をみていきましょう。

これは普通の方程式が合同式のかたちになったもので、

 

ｘ＋５≡１（mod 3）

 

となるｘを求めるみたいな感じになります。

正直、あんまり問題をみたことありません笑。なのでそんなに気にしなくていいと思いますがいちおうやっときます。

 

負の数には注意

 

移項はできるので、上の式を普通に解くと、

ｘ≡－4（mod 3）

ですね。

しかし、答えるときは自然数にするほうがベターです。

では‐4を３で割った余りっていくつでしょう？

 

基本に戻って考えましょう。余りがｋだったら、割った数からｋ(余りなので自然数です！)を引けば割り切れるってことでした。

－4から何かを引いたら3の倍数になるわけですから、－4より小さい3の倍数を考えてみてください。

 

そう、－6ですね！これは‐4から２を引いたもの。つまり余りは２です。

よって上の答えは

ｘ≡２(mod 3)

となります。

合同方程式がややこしい1つ目の原因が”負の数”の余りです。丁寧に考えればわかってくるのでしっかり覚えておきましょう！

 

割り算には注意

 

もう1つ、ややこしいのが合同方程式の割り算です。

例えば、

4x≡8（mod 12）

を考えてみます。

答えはｘ≡２（mod 12）、としたくなるのは非常にわかります。が、実はこれだけじゃないんです。例えば５をいれても20≡8（mod12）になります。

 

先に結論をいっとくと、割り算のときは書き出すのが正解です。この場合だったら0～11まであてはめて考える。

ふぁ？って感じですが、それしかないんです。だからあんま問題にはなりません( ^ω^ )

 

いちおう合同式の割り算では、割る数とmodの数(例題では12)が”互いに素”だったら割ってもOKというルールがあります。今回は4と12だからだめですが、

4x≡8（mod 11）

だったら4と11は互いに素なので４で割れて、

x≡2（mod 11）

が答えになるわけです。

 

このあたりは定義にもどって考えるとわかってきます。1次不定方程式という新たなテーマにうつることになるのでここではやりません。

まあぶっちゃけ合同方程式はそんなに重要じゃないです( ^ω^ )それだったら一次不定方程式をやったほうがいいし、合同式自体は次に紹介する使い方のほうが数倍大事です。

ってことで次にいきましょう笑

 

合同式のつかいどころ

余りをもとめる

 

じゃあどんなところで使えるねん！ってことですが、上でも言ったように性質4がめちゃめちゃ優秀です。

 

例えば「13¹⁰⁰を9で割った余りは？」という問題。

 

さっきの二項定理をつかって（９＋４）¹⁰⁰にして…とやってもいけそうですが、難しそうです( ^ω^ )

 

ここで合同式をつかうと、

13≡4(mod 9)ってのはすぐわかります。4¹⁰⁰を考えればいいことになりました。

さて、この100乗がじゃまです。どうしましょう。何とか消したいですが…そういえば1は何乗しても1でしたからこれを使いましょう(´∀｀)

4²＝16≡7

４³＝64≡１

おお、見つかりました！

じゃあ4¹⁰⁰＝(4³)³³・4とすれば

 

4¹⁰⁰≡(4³)³³・4

　　≡1³³・4

　　≡4

 

どうでしょう、けっこうシンプルにできると思いませんか？笑

余りが1になるのをみつけるのがポイントですね！

 

もう1ついっときましょう。割り算の余りという視点はけっこう見落としがちなので注意です。

「47²⁰²⁰の1の位の数」を求めてみましょう！

 

そうですね、1の位の数ってことはつまり「10で割ったときの余り」です。mod 10の合同式を考えていきたいですね！

47≡7

ですから、7の○乗を計算していくと

7²＝49≡9

7³≡7²・7≡9・7≡63≡3

7⁴≡7³・7≡3・7≡21≡1

 

ってことで7の4乗で1になることがわかりました。上の計算みたいに、1となるのを探すときでも合同式の性質を使えばラクです

 

では47²⁰²⁰をどんどん変換していくと、

47²⁰²⁰≡7²⁰²⁰≡(7⁴)⁵⁰⁵≡1（mod 10）

となります！

つまり1の位は１です。

 

割り切れるかの証明

 

もちろん余りを求めるだけじゃないです。よくある「～は3で割り切れることを示せ」的な問題にも絶大な効果を発揮します。まじで絶大です。

 

例題として

「ｎ⁴＋2ｎ²は3の倍数であることを示せ。(ｎは整数)」

を考えてみましょう！

 

おそらく合同式を知らなかったら、

ｎ＝3k、3k＋1、3k＋2

の3通りを上の式にぶちこんで計算するはずです。確かにできる！できるけど計算時間がもったいないし何よりめんどくさい(´∀｀)

 

しかし！合同式があれば

ｎ≡0、1、2（mod 3）

を当てはればいいわけです。計算量がぜんぜん違いますよね。

 

0のときは0、1のときは3≡0、2のときは24≡0、と暗算でできます。で、ぜんぶ0、つまり3で割り切れるってことがいえます

 

上の式みたいにシンプルな式だったり、3の倍数でいいなら合同式を使わなくてもなんとかなるんですが、もっと複雑な式のときもあるし、5の倍数とかになると5通りやんないといけないわけです。やってられません。

そこで合同式をつかえば、同じ5通りでも計算が数字になるので一気に楽になります。しかもその数字はたいてい１ケタなのでミスも減ります。

なにより書く量が減る。証明問題ではけっこうありがたいメリットです(`･ω´･)ﾉ”

 

合同式の例題

 

最後に１つだけ例題を。

 

「aとbは3で割り切れない整数とする。このときa⁴＋b⁴＋a²b²は3で割り切れることを示せ」

 

 

はい、もう楽勝ですね

3で割り切れないらしいので、3を法として(mod 3 ってことを言葉にするとこうなります。証明のときに最初に言っておけばいちいちmod 3を書かなくていいのでおすすめ)

1. a≡1、b≡1
2. a≡1、b≡2
3. a≡2、b≡1
4. a≡2、b≡2

の4通り考えればよさそうです。それぞれ代入して計算していきましょう。2⁴＝16≡1、2²＝4≡1を使えばさらにラク。全部3の倍数になりましたね( ´ ▽ ` )ﾉ

 

合同式まとめ

 

はい、今回は数学の整数の分野ででてくる”合同式”についてまとめてみました！

 

読んでいただいた方にはわかると思うんですが、合同式って全然難しくないです。

余りに注目するってのがイレギュラーなのと、あんまし使いどころがわかんないので習った最初は敬遠しがちですが、実は便利ってのが分かってもらえたら嬉しいです(´∀｀)

 

整数問題でよくでてきる余りを求める問題や、割り切れるか否かの証明問題など使えるところは限られてますけどそこではめちゃめちゃ強いです。とくに証明問題は合同式つかったほうが明らかに楽でスマート。

覚えることも多くないのでぜひ身に着けといてほしいと思います！

いじょう、そらめまめでした～