今回は場合の数や順列の中でも少しちょっとめんどくさい円順列をみていきましょう！
こういった数学の解説記事では毎回言っていますが、ただ覚えようとするんじゃなくて理解して覚えることが実践でも使えるようになるコツ。今回の円順列でもそれは同じです。
公式の丸覚えじゃなくてどういう過程で求めていくのかを理解して、応用問題にも対応できるようにしていきましょう( ´ ▽ ` )ﾉ
では円順列とその例題について解説していきます～
円順列とは
円順列をつかうのは何かを円形に並べるときですよね。よく出てくるのが円形のテーブルに座る問題であったり、あとで扱いますが立方体に色を塗る問題だったりします。
公式で書くとすごいシンプルで、異なるｎ個の円順列の数は
(n-1)！
で表されます。
つまり5人の子供を丸いテーブルに座らせるさい、その座らせ方は(5-1)！、４！で24通りあることになります。
まあこんな問題なら覚えりゃできるんですが、例えば「6人のうち4人を円形のテーブルに座らせる方法は何通り？」という問題にはこの公式だけでは通用しません(-∀-)
ということで、シンプルな公式の過程をさらっとみてみます。そんなに難しくないので大丈夫です！
円順列のポイント
円順列が普通の順列と違うのは1つだけ、回転すると一緒の並び方があるってことです。
この上の図の場合、2つは回転させると同じになりますよね。だから円順列では同じ並び方。しかし順列的に書けば”ABCDE”と”EABCD”は違う並び方です。
じゃあこれを利用して円順列の総数を求めましょう。
いま、5人を円形のテーブルに座らせるときの方法はｙ通りだとします。つまり円順列の数ですね。これと5人を普通に1列に並べるときとを比べます。
- ABCDE
- EABCD
- DEABC
- CDEAB
- BCDEA
この5通りの並び方は上でもやったように円順列で考えると全部同じ。Aをずらしているイメージですね。ということは、1つの円順列に対して5通りの順列が存在することになります。
ならば、y×5が5人を1列に並べるときの並べ方、つまり5！になるはずです。普通の順列ですね
ってことはyは5！÷５で求められる。ので4！になります。
これをｎ個の場合で考えても一緒で、円順列は
ｎ！÷ｎ＝(ｎ-１)！
と表すことが出来るわけです。
もう１つの考え方として、さっき「Aをずらしていく」という表現をしました。逆にいえば円順列の場合はAをずらさずに考えればいいわけです。
つまり下のように、Aはここで固定して他の４つの並べ方を考えれば、回転して同じになるものは計算から省くことができます。
ってことで４人の並べ方だから４！という考え方もできます。
Bが上にくる並び方も、回転すればAが上にきます。CでもDでも一緒です。だからAが上のときしか考えなくていいんですね
なんかだまされてるように感じますが、回転というめんどい要素を勝手に固定することで排除できるってのがこっちの考え。わりとスマートで応用がきくので、この考えもぜひ知っといてください(`･ω´･)ﾉ”
これを踏まえて「6人のうち4人を円形のテーブルに座らせる方法は何通りか？」を考えてみましょう！
座らせるのは４人なんだから、回転してかぶっちゃう座り方は1個の円順列につき4通り。つまり6人から4人を1列に座らせる方法を４で割れば円順列がでてくるので、
₆P₄÷４＝6・５・４・３/４＝90
となります。
回転するとかぶる並び方があるから、そのかぶっちゃう数で割らないといけない。という考えを理解しとけばあっさり解けます( ´ ▽ ` )ﾉ
じゅず順列とは
もう１つ、円順列の中でもじゅず順列ってのがあります。
これはそこまで問題にはならないんですが、首飾りをつくるときを考えるのが多いですね。ようは首飾りとかブレスレットとかってひもで繋がってるんでそのまま裏返すことができます。
だから裏返したら一緒になるパターンを除かないとだめです。
この上の2つ、左側を裏返すと右側と重なります。ってことでじゅず順列では同じものと考えることになります。
そのため、じゅず順列の場合は円順列で求めたもののちょうど半分になるわけです。
そんなに難しくはないですが、じゅず順列だって気付かずにそのまま円順列で答えてしまうことも多いんで「ネックレス」「首飾り」「ブレスレット」みたいに裏返せる系の単語がでてきたら警戒しましょう( ´ ▽ ` )ﾉ
円順列の例題
続いては円順列を実際に例題で確認していきます！
円順列はそのまま円形に並べることが問題になるのは少ないです。普通はそこに何らかの条件がついてきます。その条件をどうやって処理して考えるかがポイント。
これには円順列の公式のときにもみた「固定する」という考えが重要になってくるので意識してみてください(`･ω´･)ﾉ”
・5個の数字１，２，３，４，５を円形に並べるとき、１と２が隣り合う並べ方は何通りあるか
これはよくあるパターンですね～。
１と２が隣り合う必要があるので、１，２を1つのグループとしてまとめて考えます。つまり、(1，2)，３，４，５の４つの円順列を考えると、(4-1)！で６通りです。
で、1，2自体の並べ方は2通りあるので、答えは6×2で12通りとなります。
これは1列に並べるときでもよくある条件ですね。隣り合うときたらこの対応をしとけばまず大丈夫です。
・5個の数字１，２，３，４，５，6を円形に並べるとき、１と２が向かい合うように並べ方は何通りか
この”向かい合う”という条件は円順列特有のものです。ここの考え方は2通りあります。
まず1つは先ほどの「固定」を使うパターン。１と２を最初に勝手に決めてしまって、他の数字を空いてる箇所に並べてやるやり方です。公式を導いた時とほぼ一緒ですね
こうすると、残りの4つに数字を並べることを考えればいいので4！で24通りということになります。
あれ、この場合はさっきの隣り合う問題みたいに１と２の入れ替えを考えなくていいのか？
はい、この向かい合うパターンなら回転すると一緒になるので考えなくて大丈夫です。２を上、１を下にして並べても、その並べ方は回転させれば1を上にして考えたときと同じになります。
固定することで回転に対応するやり方ですね(´∀｀)
もう1つの考えはシンプルです。
まず２から６の５つの数字を円形に並べます。この場合は5つの数字の円順列なので4！で24通りですね。
この並べ方で、あとは１を２の向かい側にいれていけば条件を満たすことになります。2の向かい側ってのは1か所しかないので並べ方の総数は変わらず、結果24通りが答えになります。
こっちの考えもわりと分かりやすいですね～。いちおう隣り合うパターンもこのやり方で解けます。隣り合う場合は、２の両隣、つまり2か所あるのでそこは注意です！
色の塗分け問題
もう１つ、これも頻出の色の塗分け問題を例題としてやっときたいと思います(´∀｀)
・立方体の各面に色を塗る。ただし隣り合う面の色は異なるようにし、回転させると一致する塗り方が同じとみなす。
- 6色すべてを使って塗る方法は何通りか
- 5色すべてを使って塗る方法は何通りか
では考えてみましょう！
まず立方体を思い浮かべてください。6面あるので、前半の場合なら1面に1色使うことになり、隣り合う色が同じになることはありません。
でも、回転させると同じになるパターンはありそうなのでめんどくさいですね。しかも色んな方向に回転できます。
ってことで、回転は固定で対応する考えを使ってみます。
円形に座らせるときにAはここ！と決めちゃったように、上面の色をまず決めてしまいましょう。
ややこしくなるので図では赤と青しか使ってませんが、固定せず考えると3通りあるようにみえても、結局回転すればぜんぶ同じ位置関係にあることがわかります。
このように、赤を上面ともとから固定して考えれば、”回転したら同じ”になるパターンをカウントせずにすむわけです！
あ、注意として、この上面固定によりコロコロと転がっていくような回転は考えなくていいですが地球儀のようにその場でぐるぐる回る回転はまだ起きます。
つまりこの立方体の側面の4つの塗り方は円順列になるってことです。
立方体を上からみたときを考えてみましょう！
円順列とは、でやったのと同じで、4！という計算ではこの2つの並べ方が２つとして数えられてます。でもこの立方体ではこいつらは回転すれば重なるから1通りです。
まとめてみると、まず上面を赤と固定しました。これにより転がっていくような回転は考えなくてすみます。側面は残り5色のうち4色での円順列です。そして残った1色が下の面ですね。
この円順列の求め方は上でやりました！
₅P₄÷４＝５・４・３・２/４＝30
つまり30通りです！
あれ？上面は赤以外のパターンも考えなくていいの？
いいですよ！
他の色が上面にある塗り方は転がせば必ず赤が上面になります。ってことは赤を上面に固定した上の考え方での塗り方に含まれてます。固定するとこんなにあっさりできてしまいますd(ﾟ∀ﾟ*)
では後半の方を考えてみましょう！
前半の解説をみて、もう1度自分で考えてみてください(-∀-)。後半のポイントは5色ってとこですね～
はい、では解説してみます。
5色ってことは、6面あるので2面は同じ色で塗らないといけません。隣り合うとだめなので、向かい側の面に塗るしかなくなります。
前半と同じく上面を赤色と固定してみると、下面も同じく赤色ってことになります。つまりこの場合は赤を2回使うパターンです。
では残りの側面４つを4色で塗りましょう！
円順列で(4-1)！＝６通り
にしたいです。したいですが、残念ながら違います。
今回は上と下の面の色が同じです。つまり、上下の違いがありません。つまり、裏返すことができます。
そう、これはじゅず順列になるんです(´･ω･`)
ここが最大のポイントです。
しょうじき、しょうじき言ってこんな問題はまさにこの色塗り問題しかみたことないです(-∀-)
でも「固定して考える」という意識は円順列に限らず使う場面が多く、役に立つんでぜひマスターしてほしいです。
後半の問題をまとめると、まず上面を固定するわけですが今回は上面に塗る色は2回使う色ですので5通り考えないといけません。ここも前半と違うポイントです。
そして、側面の塗り方はじゅず順列なので(4-1)！を２で割って３通り。
つまり5×3で15通りが答えになります
円順列のまとめ
さて今回は円順列とじゅず順列の考え方を例題をまじえつつ解説してみました！
問題が複雑になってくるとこんがらがってしまう人もいますが、個人的な考え方のステップとしては
- 回転を考えないといけないか
- 回転があるなら固定して対応
- 裏返せるタイプならじゅず順列とみなす
ってな感じです。
まあいつもこの通りに考えてるわけじゃないですけど、円順列ってのも固定して回転に対応した結果、あらわれた公式なんですよね。
だから回転がめんどくさそうならとりあえず固定しときゃいいんです( ^ω^ )
毎回いってるように、公式だけの暗記では今回の例題のような問題にはぜったい対応できません。どう使えばいいかわからないからです。
しっかりと過程から考えるくせをつけることで、こういう問題に対しての理解が速くなり、点数の差につながってきます。今回の記事もぜひ参考にしてみてほしいです( ´ ▽ ` )ﾉ
いじょう、そらめまめでした～