今回は数学のちょっとめんどくさい分野、必要条件＆十分条件についてみていきます！
基本的な部分も復習していきますが、タイトルにもあるように「ベン図をつかって解く」ことについて中心に解説していきますよ(`･ω´･ ●)
一次試験の出題頻度も高く、あまり落としたくない問題なのでもしよければ参考にしてください！
必要十分条件の基本
まずは基本を押さえておきましょう！2つの条件PとQがあった場合、
P⇒Q(PならばQ)が成り立つとき、「PがQの十分条件」「QがPの必要条件」
といいます。
P⇒Qとは、簡単に言うと「Pが成り立つなら絶対Qも成り立つ」ってことを意味します。
こう書くと覚えにくいですが、ちゃんと意味を考えると簡単です。とくに十分条件の方が分かりやすいですね。PはQを満たすってこと、つまり条件Qを満たすなら条件Pを満たしてたら十分ってことを意味します。でも
P ⇒ Q
十分⇒必要
と覚えた方が楽なので、覚えるにこしたことはないですね〜。これは「重要(｢十｣分から必｢要｣)」だと覚えましょう。
そしてP⇔Qが成り立つ場合は必要十分条件となります。まとめると、条件PとQに対してP⇒QなのかQ⇒PなのかQ⇔Pなのかはたまた何の関係もないのかが分かれば、必要十分条件の問題は解けるようになるってことですね。
簡単な例でいくと、
P：太郎は高校生だ
Q：太郎は学生だ
ならP⇒Qは成り立ちますが、Q⇒Pは成り立ちません。学生でも、大学生や中学生の可能性がありますよね。よってこの場合は「PはQの十分条件である」「QはPの必要条件である」といえます。
ちなみにですが、条件の否定ってありますよね。「a=0」の否定は「aは0ではない」ってなるやつです。では「P⇒Q(PならばQ)」の否定って分かりますか？
正解は、「条件Pを満たすがQではないものがある」となります。つまり反例が存在するということですね。まあ今回の内容とはあまり関係がないんですが、なんとなく挟んじゃいました(-∀-)
で、話を戻します笑
この条件が単なるPやQだとまだ分かりやすいんですが、たいていの問題はPの補集合とかP∩Qと別の条件Rの関係とかを聞いたりしてくるので難しくなっていくわけです。
そこで今回は、もっと視覚的に分かりやすくこの必要十分条件の問題を解く方法の１つを紹介します！
ベン図を使った解き方とは
はい、ベン図をつかって条件を目で見れるようにしていこう！ってことです。
ところでベン図って覚えてますか？小学校とかでちらっとやると思うんですが、例えば20人のクラスに「犬と猫どっちが好きかアンケート」をとって、その結果をベン図をつかってまとめると下のようになったとします。
この図が意味するのは、「犬が好き」な人は9人、「猫が好き」な人は6人で「両方好きな人」が3人、「どちらも好きではない人」が2人いることを示します。ちなみに僕は両方好きです。
このように、ベン図には条件がかぶってる範囲、かぶってない範囲が分かりやすくなるという特徴があります。
利用できるベン図の性質
そしてもう1つ、必要十分問題を解く上でベン図がおすすめな性質があります！
例えば、ここでは
条件P：a=1
条件Q：a²=1
としてPとQの関係を考えましょう。この場合、P⇒QとなるのはOKですよね。ではQ⇒Pは成り立つでしょうか？
条件Qのほうを解いてみるとa=1,-1となるので、Q⇒Pは成り立たないことがわかりますね。aが1になるとは限らないってことです。ってことでこの2つの条件の関係は
・PはQの十分条件である(QはPの必要条件である)
ということになります！
さて、この2つの条件をベン図で書いてみるとどうなるでしょう。
こうなりますよね。そう、条件Qの円が条件Pをすっぽりと覆ってしまっています！！実はこの位置関係がP⇒Qを表しているわけです。集合の包含関係ってやつですね。考えてみると当たり前ではありますが、視覚的に捉えられることでかなり分かりやすくなったと思いませんか？
つまり2つの条件をベン図で書いてみて、このようにPがQにすっぽりと収まるときは「PがQの十分条件である」と判断できます。Qの方が「ひ」ろいので「ひ」つ用条件と覚えてもいいですね！
そして勘のいい人ならもう分かったかもしれませんが、この2つの円が一致するときが「必要十分条件」です。逆に、かぶってる範囲はあってもすっぽりとは収まってない場合は「必要条件でも十分条件でもない」パターンになります！
条件を図で表すことで、その位置関係(包含関係)を認識して関係を調べるというのがベン図解法の解き方です。
とりあえず１つ例題を挙げておきます。
条件P：(x²+y²)(x²+z²)=0
条件Q：x=0
(x,y,zは実数)
さて、このときPとQにはどんな関係があるでしょうか。
ベン図解法で大切なのは、条件を正確に把握すること。条件Pを解くと、
x²+y²=0 or x²+z²=0
x=y=0 or x=z=0
となります。
ってことで図に表すとこんな感じ。
赤の斜線部分が条件Pの範囲ですね。
ってことでQがPを包んでしまうので、「PがQの十分条件」言い換えると「QはPの必要条件」となります！
まあこの例題は簡単ですが、このベン図をつかった解き方は条件がややこしくなったときほど活躍します！
図に書くことで分かりやすくなるとともに、条件を整理できるからってのが理由の１つと、あと補集合やP∩Qの範囲がベン図で書いてる分すぐに捉えれるからっていう理由もあります。上の図をみればそれぞれの補集合だとかその補集合とかぶる範囲だとかが分かりやすいですよね～
そんな例題はちょっと用意できなかったんですが、一次試験ではおそらく出てくると思うのでどんどん練習してほしいです( ´ ▽ ` )ﾉ
ベン図解法が向いてる問題・向いてない問題
上でも言ったようにベン図で解くときに大事なのが、条件の情報を正確に図に表すということです。これができないと図そのものが間違ってしまうのでもちろん答えが合いません。
ベン図は基本的に集合を表す図です。なので、条件が数式で表されてる場合はその数式を解いて、集合としてベン図をつくることをおすすめします。
条件Pが「a²-4>0」だったら、これを解くと「a>2,a<-2」になるので条件Pは「a>2,a<-2」であるaの集合として考える、ということです。
こうすると「a>3」という条件はPにすっぽり収まるな、とベン図に表しやすくなります。
逆に言うと、ベン図で解くときは条件を集合に表すことが1番の難関です。例えば「a+b,abは有理数である」という条件を集合に表すなんてのは難しいですよね(´A｀)
この場合はベン図を使って解くのはあまりいい手とはいえません。繰り返しになりますが、ベン図は集合の関係をみる図です。つまり集合として表しにくい条件のときは、ベン図ではなく反例を探すなどして解く方がいいってことです。
では実際どんな問題なら集合として表しやすいのかって話ですが、基本的に条件が数式の場合は集合として表しやすいです！
先ほどの例のように数式を解く、あるいは整理することで集合で表すことが可能になります。あくまで基本的にではありますが、条件が数式の場合はぜひベン図を使ってみてください！
センターレベルなら因数分解をきっちりすれば解ける数式が多いので、焦らずに解いていきましょう( ´ ▽ ` )ﾉ
まとめ
今回はベン図をつかった必要十分条件の問題の解き方について解説していきました～
ポイントとなってくるのは、
- ベン図は集合の関係を表す図である
- そのため条件を集合で表す必要あり
- 条件が数式のときはチャンス！
ってとこですね。
まあつわかずに解けたらそれでいいんですが笑、個人的には実際に使ってみるとかなり分かりやすく解くことができて便利でした！とくに一次試験で出やすい必要十分条件の問題ですが、時間に追われてるとどうしてもミスがでやすい分野でもあります。
そこで図を使って整理しながら解くと、条件の把握がはやくなりミスも減るのでおすすめです。
また、条件を集合で表しにくいなと感じたらすぐに切り替えるのも大事です。そこで時間をかけすぎるよりは、確実に取れる問題に時間をかける方がかしこいですよね！
目安としてですが、条件が数式ならベン図で解けるかもってのを意識しとくとその辺の見きわめもはやくなりますよ(`･ω´･)ﾉ”
最後に、数学に限らずなんでもそうですがテストで一番大切なのは「焦らないこと」です。分かるはずなのに、あんなに勉強したのに、と焦ってしまうとさらに自分を追い込んでしまい、頭が回らなくなります。
そうならないためにまずは自信がつくくらい勉強して、分からなくても「あれだけ勉強した自分がわからない⇒ほとんどの人がわからない」って関係を頭に思い浮かべれるくらい余裕をもって対処していきましょう！解けるところを解き切ることが高得点への第１歩ですよ( ´ ▽ ` )ﾉ
いじょう、そらめまめでした～